Нахождение площади с помощью определенного интеграла. Интеграл. Вычисление площадей с помощью интеграла. III. Актуализация опорных знаний

Определение. Разность F (b)– F (a) называется интегралом от функции f (x) на отрезке [ a ; b ] и обозначается так: = F (b)– F (a) – формула Ньютона-Лейбница.

Геометрический смысл интеграла.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:

Вычисление площадей с помощью интеграла.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a ; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и прямыми х=а, х= b:

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и осью Ох:

Задачи и тесты по теме "Интеграл. Вычисление площадей с помощью интеграла"

Интеграл
Уроков: 4 Заданий: 13 Тестов: 1
Вычисление площадей с помощью интегралов - Первообразная и интеграл 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 10 Тестов: 1
Первообразная - Первообразная и интеграл 11 класс
Уроков: 1 Заданий: 11 Тестов: 1
Планиметрия: вычисление длин и площадей
Заданий: 7
Вычисления и преобразования - Подготовка к ЕГЭ по математике ЕГЭ по математике
Заданий: 10

Прежде чем начать вычислять площадь фигуры, ограниченной заданными линиями, постарайтесь изобразить эту фигуру в системе координат. Это существенно облегчит решение задачи.

Изучение теоретических материалов по данной теме дает Вам возможность овладеть понятиями первообразной и интеграла, усвоить связь между ними, овладеть простейшей техникой интегрального исчисления, научится применять интеграл к вычислению площадей фигур, ограниченных графиками функций.

Примеры.

1. Вычислить интеграл

Решение:

Ответ: 0.

2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

a) f ( x ) = 2 х – х 2 и осью абсцисс

Решение: График функции f(x) = 2x - х 2 парабола. Вершина: (1; 1).

Ответ: (кв. ед.).

В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа , поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей. В этой связи полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, а, как минимум, уметь строить прямую, и гиперболу .

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью , прямыми , и графиком непрерывной на отрезке функции , которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу . У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл.

С точки зрения геометрии определенный интеграл - это ПЛОЩАДЬ .

То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси (желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения - построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом - параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно.

В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже - ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка - в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение : Выполним чертеж:

Если криволинейная трапеция расположена под осью (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле:

В данном случае:

Внимание! Не следует путать два типа задач :

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

Пример 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение : Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ - аналитический. Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .

Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться .

Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.

Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

А теперь рабочая формула : Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми , , можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура - над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой - НИЖЕ .

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Пример 4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение : Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие - чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов.

Действительно :

1) На отрезке над осью расположен график прямой ;

2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

С помощью определенного интеграла можно вычислять площади плоских фигур, так как эта задача всегда сводится к вычислению площадей криволинейных трапеций.

Площадь всякой фигуры в прямоугольной системе координат может быть составлена из площадей криволинейных трапеций, прилегающих к оси Ох или к оси Оу .

Задачи на вычисление площадей плоских фигур удобно решать по следующему плану:

1. По условию задачи сделать схематический чертеж

2. Представить искомую площадь как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции.

3. Записывают каждую функцию в виде y = f(x) .

4. Вычисляют площади каждой криволинейной трапеции и площадь искомой фигуры.

Рассмотрим несколько вариантов расположения фигур.

1). Пусть на отрезке [a; b ] функция f(x) принимает неотрицательные значения. Тогда график функции y = f(x) расположен над осью Ох .

S =

2). Пусть на отрезке [a; b ] неположительная непрерывная функция f(x). Тогда график функции y = f(x) расположен под осью Ох :

Площадь такой фигуры вычисляется по формуле:S = -

Площадь такой фигуры вычисляется по формуле:S =

4). Пусть на отрезке [a; b ] функция f(x) принимает как положительные, так и отрицательные значения. Тогда отрезок [a; b ] нужно разбить на такие части, в каждой из которых функция не изменяет знак, затем по приведенным выше формулам вычислить соответствующие этим частям площади и найденные площади сложить.

S 1 = S 2 = - S ф = S 1 + S 2

Урок по математике для первого курса учреждений среднего профессионального образования

Тема: “Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”.

Преподаватель математики С.Б. Баранова

Образовательные задачи:

обеспечить повторение, обобщение и систематизацию материала по данной теме;

создать условия контроля (самоконтроля) знаний и умений.

Развивающие задачи:

способствовать формированию умений применять приемы сравнения, обобщения, выделения главного;

продолжить развитие математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

Воспитательные задачи:

содействовать воспитанию интереса к математике;

воспитание активности, мобильности, умения общаться.

Тип урока – комбинированный урок с элементами проблемного обучения.

Методы и приёмы обучения – проблемный, наглядный, самостоятельная работа студентов, самопроверка.

Оборудование – приложение к уроку, таблицы.

План урока

Организационный момент. Подготовка студентов к работе на занятии.

Подготовка студентов к активной деятельности (проверка вычислительных навыков и таблиц интегралов по группам).

Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

Работа с новым материалом.

Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

Домашнее задание.

Применение знаний.

Подведение итогов.

Рефлексия.

Ход урока

1. Организационный момент.

Понятие определенного интеграла является одним из основных понятий математики. К концу 17 в. Ньютоном и Лейбницем был создан аппарат дифференциального и интегрального исчисления, который составляет основу математического анализа.

На предыдущих занятиях мы научились “брать” неопределенные интегралы, вычислять определенные интегралы. Но куда важнее применение определенного интеграла. Мы знаем, что с его помощью можно вычислять площади криволинейных трапеций. Сегодня мы ответим на вопрос: “Как это сделать?”

2. Подготовка студентов к активной деятельности.

Но сначала нам необходимо проверить вычислительные навыки и знание таблицы интегралов. Перед вами задание, результатом выполнения которого будет высказывание французского математика С.Д. Пуассона (Жизнь украшается двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием).

Задание выполняется парами ().

3. Подготовка к изучению нового материала через повторение и актуализацию опорных знаний.

Переходим к теме нашего занятия “Вычисления площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла”. Кроме умения вычислять определенный интеграл, нам нужно вспомнить свойства площадей. В чем они заключаются?

Равные фигуры имеют равные площади.

Если фигура разбита на две части, то её площадь находится как сумма площадей отдельных частей.

Также нам нужно повторить правило интеграла суммы и формулу Ньютона-Лейбница.

4. Работа с новым интегралом

1. Определенный интеграл служит для вычисления площадей криволинейных трапеций. Но на практике чаще встречаются фигуры, которые таковыми не являются и нам необходимо научиться находить площади именно таких фигур.

Работа по таблице “Основные случаи расположения плоской фигуры и соответствующие формулы площадей” ().

2. Давай проверим себя.

Работа с заданием () с последующей проверкой (таблица №3).

3. Но умения правильно выбирать формулы для площади недостаточно. На следующей таблице () в каждом из заданий есть “внешняя” причина, не позволяющая вычислить площадь фигуры. Найдём их.

а) не указаны формулы для графиков функций.

б) нет пределов интегрирования.

в) не указаны названия графиков и нет одного предела.

г) не указана формула одного из графиков.

4. С учетом проделанной работы, сформулируем и запишем алгоритм решения задач на тему урока.

Построить графики данных линий. Определить искомую фигуру.

Найти пределы интегрирования.

Записать площадь искомой фигуры с помощью определенного интеграла.

Вычислить полученный интеграл.

5. Первичное осмысление и применение изученного материала, его закрепление.

1. С учетом алгоритма выполним задание №2 из последней таблицы.

Рисунок 1

Решение:

Для точки А:

– не удовлетворяет условию задания

Для точки В:

– не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: (кв. ед).

2. Но при выполнении этого задания алгоритм применялся не полностью. Для его отработки выполним следующее задание

Задание. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

Рисунок 2

Решение:

– парабола, вершина (m,n).

(0;2) – вершина

Найдём пределы интегрирования.

Ответ: (кв.ед).

6. Домашнее задание.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (задание разобрать).

7. Применение знаний.

Самостоятельная работа (Приложение №5))

8. Подведение итогов.

научились составлять формулы для нахождения площадей плоских фигур;

находить пределы интегрирования;

вычислять площади фигур.

9. Рефлексия.

Студентам раздаются листочки. Они должны оценить свою работу, выбрав один из предложенных вариантов ответа.

Оценить степень сложности урока.

Вам было на уроке:

легко;

обычно;

трудно.

усвоил полностью, могу применить;

усвоил полностью, но затрудняюсь в применении;

усвоил частично;

не усвоил.

Просмотрев ответы, сделать вывод о подготовленности студентов к практической работе.

Используемая литература:

Валуцэ И.И., Дилигулин Г.Д. Математика для техникумов.

Крамер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М. Высшая математика для экономистов.

Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика, ч.1.

Званич Л.И., Рязановский А.Р. М., Новая школа.

Газета “Математика”. Издательский дом “Первое сентября”.

Приложение № 1

Вычислите определённые интегралы и вы узнаете одно из высказываний французского математика С.Д.Пуассона.

Жизнь

Тремя

Двумя

Вещами

Занятием

Математикой

Арифметикой

Преподаванием

Её

Украшается

Забыванием

Приложение № 2

ОСНОВНЫЕ СЛУЧАИ РАСПОЛОЖЕНИЯ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ФОРМУЛЫ ПЛОЩАДЕЙ

______________________________________

__________________________________ ______

________________________________ ______

___________________________________

Фигура симметричная относительно оси ординат или начала координат.

Приложение № 3

Используя определенный интеграл, запишите формулы для вычисления площадей фигур, заштрихованных на рисунке.

_________________________________________

__________________________________________

___________________________________________

____________________________________________

Приложение № 4

Найти «внешнюю» причину, не позволяющую вычислить площадь фигуры.

Рисунок 1

Рисунок 2

Рисунок 3

Рисунок 4

_____________________________

Приложение № 5

Самостоятельная работа

Вариант 1

Запишите с помощью интегралов площади фигур и вычислите их

Нарисуйте фигуры, пл ощади которых равны следующим интегралам:

Самостоятельная работа

Вариант 2

1. Нарисуйте фигуры, площади которых равны следующим интегралам:

Инструкция

При построении графиков двух заданных функций в области их пересечения образуется замкнутая фигура, ограниченная этими кривыми и двумя прямыми линиями х=а и х=b, где а и b – концы рассматриваемого интервала. Эту фигуру визуально отображают штрихом. Ее площадь можно вычислить, проинтегрировав разность функций.

Функция, расположенная выше на графике, является большей величиной, следовательно, в формуле ее выражение будет стоять первым: S = ∫f1 – ∫f2, где f1 > f2 на промежутке [а, b]. Впрочем, приняв во внимание, что количественная любого геометрического объекта является величиной положительной, можно вычислить площадь фигуры, графиками функций, по модулю:
S = |∫f1 – ∫f2|.

Такой вариант тем более удобен, если нет возможности или времени на построение графика. При вычислении пользуются правилом Ньютона-Лейбница, которое предполагает подстановку в конечный результат предельных значений интервала. Тогда площадь фигуры равна разности двух значений первообразной, найденной на этапе интегрирования, из большего F(b) и меньшего F(а).

Иногда замкнутая фигура на заданном интервале образуется путем полного пересечения , т.е. концы интервала являются точками, принадлежащими обеим кривым. Например: найдите точки пересечения линий у = х/2 + 5 и у = 3 х – х²/4 + 3 и вычислите площадь.

Решение.
Чтобы найти точки пересечения, составьте уравнение:
х/2 + 5 = 3 х – х²/4 + 3 → х² – 10 х + 8 = 0
D = 100 - 64 = 36 → х1,2 = (10 ± 6)/2.

Итак, вы нашли концы интервала интегрирования :
S = |∫ (3 х – х²/4 + 3 – х/2 - 5)dх| = |(5 х²/4 – х³/12 - 2 х)| ≈ 59.

Рассмотрите другой пример: у1 = √(4 х + 5); у2 = х и дано уравнение прямой х = 3.
В этой задаче дан только один конец интервала х=3. Это значит, что второе значение требуется найти из графика. Постройте линии, заданные функциями у1 и у2. Очевидно, что значение х=3 является верхним ограничением, следовательно, нужно определить нижний предел. Для этого приравняйте выражения:
√(4 х + 5) = х ²
4 х + 5 = х² → х² – 4 х – 5 = 0

Найдите корни уравнения:
D = 16 + 20 = 36 → х1 = 5; х2 = -1.
Посмотрите на график, нижним значением интервала является -1. Поскольку у1 расположено выше у2, то:
S = ∫(√(4 х + 5) - х)dх на промежутке [-1; 3].
S = (1/3 √((4 х + 5)³) – х²/2) = 19.

Источники:

найти площадь фигуры ограниченную графиком функции

Совет 2: Как вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

Инструкция

Вычислите точки пересечения этих линий. Для этого вам их функции, где y будет выражен через х1 и х2. Составьте систему уравнений и решите ее. Найденные вами x1 и х2 являются абсциссами необходимых вам точек. Подставьте их в исходные для каждого х и найдите значения ординат. Теперь у вас есть точки пересечения линий.

Постройте пересекающиеся линии в соответствии с их функциями. Если фигура получается незамкнутая, то в большинстве случаев она ограничена еще и осью абсцисс или ординат либо же сразу обеими координатными осями (зависит от получившейся фигуры).

Заштрихуйте получившуюся фигуру. Это стандартный прием для оформления подобного рода задач. Штриховку производите из левого верхнего угла в правый нижний линями, расположенными на равном расстоянии. Это выглядит крайне сложно на первый взгляд, но если задуматься, то всегда одни и те же и, запомнив их , можно в дальнейшем избавиться от проблем, связанных с вычислением площади.

Выполняйте вычисление площади фигуры в зависимости от ее . Если форма простая (такая как квадрат, треугольник, ромб и другие), то воспользуйтесь базовыми формулами из курса геометрии. Будьте внимательны при подсчетах, поскольку неверные вычисления не дадут нужного результата, и вся работа может оказаться напрасной.

Выполняйте сложные вычисления по формуле, если фигура не является стандартной. Для составления формулы вычислите интеграл из разности формул функций. Для нахождения интеграла можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница или основной теоремой анализа. Она состоит в следующем: если функция f непрерывна на отрезке от a до b и ɸ является ее производной на этом отрезке, то справедливо следующее равенство: интеграл от a до b от f(x)dx = F(b) - F(a).

Геометрический смысл определенного интеграла – площадь криволинейной трапеции. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями, применяется одно из свойств интеграла, которое заключается в аддитивности площадей, интегрируемых на одном и том же отрезке функций.

Инструкция

Тогда площадь фигуры можно выразить формулой, интегрирующей разность функций на интервале . Вычисление интеграла производится по закону Ньютона-Лейбница, согласно которому результат равен разности первообразной функции от граничных значений интервала.

Пример1.
Найти площадь фигуры, ограниченной прямыми линиями y = -1/3·x – ½, x = 1, x = 4 и параболой y = -x² + 6·x – 5.

Решение.
Постройте графики всех линий. Вы можете увидеть, что линия параболы находится выше прямой y = -1/3·x – ½. Следовательно, под знаком интеграла в данном случае должна стоять разность между уравнением параболы и заданной прямой. Интервал интегрирования, соответственно, находится между точками x = 1 и x = 4:
S = ∫(-x² + 6·x – 5 – (-1/3·x – 1/2))dx = (-x² +19/3·x – 9/2)dx на отрезке .

Найдите первообразную для полученного подынтегрального выражения:
F(-x² + 19/3x – 9/2) = -1/3x³ + 19/6x² – 9/2x.

Подставьте значения концов отрезка:
S = (-1/3·4³ + 19/6·4² – 9/2·4) – (-1/3·1³ + 19/6·1² – 9/2·1) = 13.

Пример2.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = √(x + 2), y = x и прямой x = 7.

Решение.
Эта задача является более сложной по сравнению с предыдущей, поскольку в ней нет второй прямой, параллельной оси абсцисс. Это значит, что второе граничное значение интеграла неопределенно. Следовательно, его нужно найти из графика. Постройте заданные линии.

Вы увидите, то прямая линия y = x проходит диагонально относительно координатных осей. А график функции корня – это положительная половина параболы. Очевидно, что линии на графике пересекаются, поэтому точка пересечения и будет нижним пределом интегрирования.

Найдите точку пересечения, решив уравнение:
x = √(x + 2) → x² = x + 2 → x² – x – 2 = 0.

Определите корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
D = 9 → x1 = 2; x2 = -1.

Очевидно, что значение -1 не подходит, поскольку абсцисса токи пересечения – положительная величина. Следовательно, второй предел интегрирования x = 2. Функция y = x на графике выше функции y = √(x + 2), поэтому в интеграле она будет первой.
Проинтегрируйте получившееся выражение на интервале и найдите площадь фигуры:
S = ∫(x - √(x + 2))dx = (x²/2 – 2/3·(x + 2)^(3/2)).

Подставьте интервальные значения:
S = (7²/2 – 2/3·9^(3/2)) – (2²/2 – 2/3·4^(3/2)) = 59/6.

Источники:

найти площадь ограниченную линиями

Совет 4: Как вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой

Еще из школьного курса известно, что для нахождения площадей фигур на координатной плоскости необходимо знание такого понятия, как интеграл. Для его применения в целях определения площадей криволинейных трапеций - именно так и называются эти фигуры - достаточно знать определенные алгоритмы.

Возможно, будет полезно почитать: